집합론 창시한 수학자 게오르크 칸토어
칸토어의 생애
칸토어는 1845년 3월 3일에 태어나 1918년 1월 6일에 사망했다. 유태계 덴마크인이었던 사업가의 아들로 상트페테르부르크에서 태어났다.
청소년기
1856년 독일의 프랑크푸르트로 이주하여, 15세에 김나지움에 입학하였다. 어려서부터 수학적 재능이 뛰어나서, 칸토어의 아버지는 칸토어를 기술자로 키우려 했다. 17세에 스위스의 취리히대학에 입학하였고, 1863년에 아버지가 죽자 독일로 돌아와 베를린대학에서 수학, 철학, 물리학을 공부하였다. 바이어슈트라스와 쿰머에게서 해석학을 배웠고, 크로넥커에게서 정수론을 배웠으며, 1867년에 가우스가 남긴 정수론의 문제를 해결하여 박사 학위를 받았다.
청년기
잠시 베를린에서 여학교 교사를 한 뒤에 1869년에 할레대학의 사강사(provatdozent)가 되었고, 이어서 1872년에 조교수, 1879년에 교수가 되었다. 할레대학의 동료 하이네는 푸리에급수를 연구하고 있었는데, 그의 격려로 이 같은 급수의 일의성의 연구를 한 결과를 1872년 27세에 논문으로 발표하였다. 이것이 뒤에 그의 초한집합론의 기본이 되었다. 즉, 여기에서 무리수를 유리수열의 극한으로 정의하여 그것을 실직선 위에 표시할 수 있음을 보였다. 그러나 실무한을 배격하던 당시의 철학에 따라, 칸토어의 업적은 별로 인정을 받지는 못하였다.
같은 해에 데데킨트도 무한집합에 근거를 두고 연속체를 논하였는데, 유리수가 조밀하기는 하지만 실직선 위에 무수히 많은 무리수가 놓여 있다는 것이었다. 이에 대하여, 칸토어는 유리수와 대수적수가 가부번임과, 실수가 비가부번임을 1874년 당시 가장 권위 있던 크렐레의 잡지에 발표하였다.
같은 해 8월에 칸토어는 결혼하였고, 내외는 여름을 스위스의 하르츠 산맥에서 보냈으며, 그때 데데킨트를 만났다. 이때 같이 논의한 문제를 1877년에 칸토어가 해결하여 데데킨트에게 알렸는데, 그 내용은 결과적으로 모든 유클리드공간이 서로 대등하다는 것이었다. 이 결과를 크렐레의 잡지에 보냈으나, 그의 스승이었던 편집위원 크로넥커의 반대로 발표가 지연되다가 그 이듬해에 출간되었다. 이에 마음이 상한 칸토어는 다시는 이 잡지에 논문을 보내지 않았다. 크로넥커와 칸토어의 대립은 철학의 차이였는데, 크로넥커는 직관주의자이었고, 칸토어는 뒤의 형식주의를 따른 때문이다.
1878년에 집합의 기수의 개념을 도입하고, 5년에 걸쳐 집합론을 체계화했으며, 그중에는 일반위상수학의 기초가 되는 여러 연구가 들어 있다. 1883년에는 유명한 “G. Cantor 집합”과 연속체가설에 관한 논문을 발표하였다.
장년기
한편 이러한 업적들은 구시대의 대부분의 지도적 수학자들의 반격을 받았고, 칸토어는 1884년 이후 때때로 정신병의 징후를 나타내었다. 그 뒤 차차 칸토어의 업적이 큰 영향을 주기 시작했으며, 칸토어는 철학과 신학에도 큰 관심을 나타내어, 그것이 그의 집합론의 전개에도 나타나 있다. 한편 칸토어는 독일수학자협회의 창립과 함께 의장이 되었으며, 제1회 국제 수학자 대회를 취리히에서 개최하는 데도 공헌하였다.
노년기
1900년을 전후하여, 칸토어는 여러 외국 학술원이나 학회의 명예 회원으로 추대되는 등 영예를 누렸으나, 정신병이 도지기 시작하여, 1905년에는 휴직하고, 1913년에는 퇴직하였다. 70번째 생일(1915)에는 세계 제1차 대전 중이었음에도 불구하고 독일 수학자들이 축하회를 열었으며, 그로부터 3년 후 할레의 정신병원에서 숨을 거뒀다.
무한집합 개념
- 유한집합 : 원소의 개수가 유한개인 집합을 말한다.
- 무한집합 : 원소의 개수가 무수히 많은 집합을 말한다.
- 가산집합 : 자연수의 집합으로의 단사 함수가 존재하는 집합을 말한다.
- 가부번집합 : 자연수 집합으로 전단사 함수가 존재하는 집합을 말한다.
- 알에프 : 순서수의 고유 모임 Ord에서 기수의 고유모임 Card로 가는 함수이다.
G. Cantor가 남긴 명언
- 수학의 본질은 그 자유로움에 있다.
- 수학에서는 문제를 푸는 기술보다도 내놓는 기술에 더 큰 가치를 매겨야 한다.
- 집합이란 우리의 직관 또는 사고의 확정되고 잘 구별될 수 있는 대상을 하나의 전체로 엮은 것을 가리킨다.
맺음말
고등학생때 집합과 무한대를 접해보고 무한대에 관심이 생겨 더 알아보기도 했었지만 이번 보고서를 작성하기 위해 G. Cantor의 생애와 G. Cantor가 알아낸 수학의 지식들을 조사하면서 전에는 알지 못했던 무한대와 집합에 대한 지식들을 좀 더 알게 되었다.
